Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-2}-1，x≥0}\\{x+2，x＜0}\end{array}\right.$，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{\frac{1}{x}，x＜0}\end{array}\right.$，则方程f[g（x）]-1=0的根有3或1或-1．

Answer 1

分析 由f[g（x）]-1=0得f[g（x）]=1，利用换元法设t=g（x），则f（t）=1，先求出t的值，然后结合t=g（x）的值，即可得到结论．

解答 解：由f[g（x）]-1=0得f[g（x）]=1，
设t=g（x），则f（t）=1，
若t≥0，则由f（t）=2^t-2-1=1，得2^t-2=2，即t-2=1，则t=3，
若t＜0，则由f（t）=t+2=1，得t=-1，
若t=3或t=-1，

若t=3，
当x≥0由g（x）=x²-2x=3得x²-2x-3=0得x=3或x=-1（舍）
当x＜0由g（x）=$\frac{1}{x}$=3得x=$\frac{1}{3}$（舍），
若t=-1，
当x≥0由g（x）=x²-2x=-1得x²-2x+1=0得x=1，
当x＜0由g（x）=$\frac{1}{x}$=-1得x=-1，
综上x=3或x=1或x=-1，

即，方程f[g（x）]-1=0的根有3或1或-1，
故答案为：3或1或-1

点评 本题主要考查分段函数的应用，利用分类讨论以及数形结合，利用换元法将复合函数进行转化是解决本题的关键．