Question

7．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=$\frac{[x]}{x}$-a（x≠0）有且仅有2个零点，则a的取值范围是（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 由f（x）=0得$\frac{[x]}{x}$=a，令g（x）=$\frac{[x]}{x}$，作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到a的取值范围．

解答 解：由f（x）=$\frac{[x]}{x}$-a=0得$\frac{[x]}{x}$=a，
设g（x）=$\frac{[x]}{x}$，
则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0，
当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=$\frac{1}{x}$，此时$\frac{1}{2}$＜g（x）≤1，
当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=$\frac{2}{x}$，此时$\frac{2}{3}$＜g（x）≤1，
当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=$\frac{3}{x}$，此时$\frac{3}{4}$＜g（x）≤1，
当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=$\frac{4}{x}$，此时$\frac{4}{5}$＜g（x）≤1，
作出函数g（x）的图象，
要使f（x）=$\frac{[x]}{x}$-a有且仅有两个零点，
即函数g（x）=a有且仅有两个零点，
则由图象可知$\frac{2}{3}$＜a≤$\frac{3}{4}$，
故答案为：（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系构造函数g（x），利用数形结合是解决本题的关键．