Question

9．已知函数$f（x）=\frac{1}{{{3^x}-1}}+\frac{1}{2}$  求：
（1）f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根据解析式中分母不为0，求出函数f（x）的定义域；
（2）根据奇偶性的定义判断f（x）是定义域上的奇函数．

解答 解：（1）函数$f（x）=\frac{1}{{{3^x}-1}}+\frac{1}{2}$，
∴3^x-1≠0，解得x≠0；
∴f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）f（x）的定义域关于原点对称，
且f（-x）+f（x）=（$\frac{1}{{3}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）
=$\frac{{3}^{x}}{1{-3}^{x}}$+$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+1
=-1+1
=0；
∴f（x）是定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．

点评 本题考查了求函数的定义域和判断奇偶性问题，是基础题．