Question

19．已知双曲线的右焦点F为圆x²+y²-4x+3=0的圆心，且其渐近线与该圆相切，则双曲线的标准方程是$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1．

Answer 1

分析 求得圆C的圆心和半径，可得c=2，即a²+b²=4，求出双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，解得b=1，a=$\sqrt{3}$，即可得到双曲线的方程．

解答 解：圆C：x²+y²-4x+3=0的圆心为（2，0），半径为1，
即有F（2，0），即c=2，即a²+b²=4，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由直线和圆相切的条件，可得：
$\frac{2b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，解得b=1，a=$\sqrt{3}$，
可得双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1．
故答案为：$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用直线和圆相切的条件：d=r，同时考查双曲线的渐近线方程的运用，属于中档题．