Question

4．已知点A在直线x+2y-1=0，点B在直线x+2y+3=0上，线段AB的中点为P（x₀，y₀），且满足y₀＞x₀+2，则$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{5}$）．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=k，由已知得B（2x₀-x₁，2y₀-y₁），由A，B分别在直线x+2y-1=0和x+2y+3=0上，得x₀=-$\frac{1}{1+2k}$，再由y₀＞x₀+2，得$\frac{5k+1}{2k+1}$＜0，由此能求出$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$的取值范围．

解答 解：设A（x₁，y₁），$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=k，则y₀=kx₀，
∵AB中点为P（x₀，y₀），∴B（2x₀-x₁，2y₀-y₁）
∵A，B分别在直线x+2y-1=0和x+2y+3=0上，
∴x₁+2y₁-1=0，2x₀-x₁+2（2y₀-y₁）+3=0，
∴2x₀+4y₀+2=0即x₀+2y₀+1=0，
∵y₀=kx₀，
∴x₀+2kx₀+1=0即x₀=-$\frac{1}{1+2k}$，
又∵y₀＞x₀+2，代入得kx₀＞x₀+2，
即（k-1）x₀＞2，即（k-1）（-$\frac{1}{1+2k}$）＞2，
即$\frac{5k+1}{2k+1}$＜0
∴-$\frac{1}{2}$＜k＜-$\frac{1}{5}$．
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{5}$）．
故答案为：（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{5}$）．

点评 本题考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线方程和不等式性质的合理运用．