Question

8．已知函数f（x）=$\frac{m}{x}$-m+lnx（m为常数）．
（1）试求f（x）的单调区间；
（2）当m为何值时，f（x）≥0恒成立？

Answer 1

分析 （1）对f（x）求导，对导函数中m进行分类讨论，由此得到单调区间，
（2）借助（1），对m进行分类讨论，由最大值小于等于0，构造新函数，转化为最值问题．

解答 解：（1）${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}-\frac{m}{{x}^{2}}$ （x∈（0，+∞）），
当m≤0时，f′（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增
此时函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；
当m＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞m，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜m，
∴f（x）在（0，m）递减，在（m，+∞）递增；
（2）由（1）得：m≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，
而f（1）=0，故f（x）＜0在（0，1）成立，不合题意，
m＞0时，f（x）在（0，m）递减，在（m，+∞）递增，
f（x）_min=f（m）=1-m+lnm=0，解得：m=1．

点评 本题考查函数求导，分类讨论，构造新函数，将不等式转化为最值问题，是一道中档题．