Question

已知抛物线y²=4x，过点P（-1，0）作直线l交抛物线于A、B两点，若以AB为直径的圆经过抛物线的焦点F，求l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设l的方程为：y=k（x+1），联立

y2=4x y=k(x+1)

，得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，由此利用韦达定理、弦长公式和点到直线的距离公式能求出直线方程．

解答： 解：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），
直线l过（-1，0），设l的方程为：y=k（x+1），
联立

y2=4x y=k(x+1)

，得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∵直线l交抛物线于A、B两点，
∴△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

2k2-4

k2

，x₁x₂=1，
y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=-

2k2-4

k

+2k=

4

k

，
∴以AB为直径的圆的圆心坐标为M（-

k2-2

k2

，

2

k

），
|MF|=

(1+ k2-2 k2 )2+(0- 2 k )2

=

4k4-6k2+4

k2

，
|AB|=

1+k2

•

(- 2k2-4 k2 )2-4

，
∵以AB为直径的圆经过抛物线的焦点F，
∴

1

2

1+k2

•

(- 2k2-4 k2 )2-4

=

4k4-6k2+4

k2

，
解得k²=

3

4

，即k=±

3

2

，
∴直线l的方程为y=±

3

2

（x+1）．

点评：本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．