Question

已知侧棱垂直于底面的三棱柱CDE-C₁D₁E₁的顶点都在同一球面上，在△CDE中，∠DCE=60°，CD=5，CE=4，该球的体积为，则三棱锥C₁-CDE的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根据球的体积求出半径R，再由余弦定理和△CDE中的数据求出DE，由正弦定理求出△CDE的外接圆的半径r，再由勾股定理求出CC₁，代入柱体的体积公式求解．
解答：解：设△CDE的外接圆的半径为r，球的半径为R，
∵球的体积为，
∴=，解得R=4，
∵在△CDE中，∠DCE=60°，CD=5，CE=4，
∴DE²=CE²+CD²-2CE×CD×cos∠DCE
=16+25-2×4×5×cos60°=21，
则DE=，
由正弦定理得，2r===2，解得r=，
∴CC₁==6，
则三棱锥C₁-CDE的体积V=
=
=，
故选B．
点评：本题考查球的体积、棱柱的体积，余弦（正弦）定理在解三角形中的应用，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题．