Question

已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁=a，F为棱BB₁的中点．
（1）求证：直线BD∥平面AFC₁；
（2）求证：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；．
（3）求三棱锥A₁-AC₁F的体积．

Answer 1

分析：（1）延长C₁F交CB的延长线于点N，连结AN，设M是线段AC₁的中点，连结MF，易证MF∥AN，AN∥BD，从而BD∥MF，由线面平行的判断定理即可证得BD∥平面AFC₁；
（2）连结BD，易证BD⊥平面ACC₁A₁，而NA∥BD，从而有NA⊥平面ACC₁A₁，由面面垂直的判定定理即可证得平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）由（2）知BD⊥平面ACC₁A₁，MF∥BD，从而得MF⊥平面AC₁A₁．利用锥体的体积轮换公式VA1-AC1F=VF-A1AC1即可求得三棱锥A₁-AC₁F的体积．

解答：（1）证明：延长C₁F交CB的延长线于点N，连结AN．因为F是BB₁的中点，所以F为C₁N的中点，B为CN的中点．设M是线段AC₁的中点，连结MF，则MF∥AN．…（2分）
∵B为CN的中点，四边形ABCD是菱形，
∴AD∥NB且AD=NB，
四边形ANCD是平行四边形，AN∥BD，…（3分）
∴MF∥BD，
又∵MF?平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD∥平面AFC₁；                                      …（4分）
（2）证明：（如上图）连结BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，可知：A₁A⊥平面ABCD，
又∵BD?平面ABCD，
∴A₁A⊥BD．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD．
又∵AC∩A₁A=A，AC、A₁A?平面ACC₁A₁，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．…（7分）
而NA∥BD，
∴NA⊥平面ACC₁A₁．
又∵NA?平面AFC₁，
∴平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁                                           …（9分）
（3）解：由（2）知BD⊥平面ACC₁A₁，MF∥BD，
∴MF⊥平面AC₁A₁．…（10分）
∵∠DAB=60°，AD=AA₁=a，
∴三棱锥A₁-AC₁F的体积VA1-AC1F=VF-A1AC1=

1

3

（

1

2

×a×

3

a）×

a

2

=

3 a3

12

…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查平面与平面垂直的判断及棱锥的体积，考查推理分析与运算能力，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于难题．