Question

已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA₁=2，F为棱BB₁的中点，点M为线段AC₁的中点．　

（1）求证：直线MF∥平面ABCD；

（2）求点A₁到平面AFC₁的距离。

（3）求平面AFC₁与平面ABCD所成的锐二面角的大小．

Answer 1

 (1)证明：延长C₁F交CB的延长线于点N，连结AN.因为F是BB₁的中点，所以F为C₁N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC₁的中点，故MF∥AN.

又∵MF⊄平面ABCD，AN⊂平面ABCD，

∴MF∥平面ABCD.

(2)证明：(如上图)连结BD，由直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁，可知：A₁A⊥平面ABCD，

又∵BD⊂平面ABCD，

∴A₁A⊥BD.

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.

又∵AC∩A₁A＝A，AC、A₁A⊂平面ACC₁A₁，

∴BD⊥平面ACC₁A₁.

在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，

所以四边形DANB为平行四边形．

故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁.

又∵NA∥MF，∴MF⊥平面ACC₁A₁.，

由，可得：

点A₁到平面AFC₁的距离为

(3)解：由(2)知BD⊥平面ACC₁A₁，

又AC₁⊂平面ACC₁A₁，

∴BD⊥AC₁，∵BD∥NA，∴AC₁⊥NA.

又因BD⊥AC可知NA⊥AC，

∴∠C₁AC就是平面AFC₁与平面ABCD所成锐二面角的平面角．

在Rt△C₁AC中，tan∠C₁AC＝＝，故∠C₁AC＝30°.

∴平面AFC₁与平面ABCD所成锐二面角的大小为30°.