Question

3．边长为4的菱形ABCD中，满足∠DCB=60°，点E，F分别是边CD和CB的中点，AC交BD于点H，AC交EF于点O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABD，连接PA，PB，PD，得到如图所示的五棱锥P-ABFED．
（Ⅰ）求证：BD⊥PA；
（Ⅱ）求点D到平面PBF的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面垂直的性质定理即可证明BD⊥PA；
（Ⅱ）设点D到平面PBF的距离为h，由等体积可得点D到平面PBF的距离．

解答 （Ⅰ）证明：∵平面PEF⊥平面ABD，平面PEF∩平面ABD=EF，PO?PEF，
∴PO⊥平面ABD
则PO⊥BD，
又AO⊥BD，AO∩PO=O，AO?APO，PO?APO，
∴BD⊥平面APO，
∵AP?平面APO，∴BD⊥PA…．（6分）
（Ⅱ）解：由题意，O到BC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PO=$\sqrt{3}$，
∴P到BC的距离为$\sqrt{\frac{3}{4}+3}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
设点D到平面PBF的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{15}}{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}×\sqrt{3}$，
∴h=$\frac{{4\sqrt{15}}}{5}$…（12分）

点评 本题主要考查线线垂直的判定以及点D到平面PBF的距离，考查等体积方法的运用，属于中档题．