Question

14．已知函数f（x）=x+1-e^ax（a∈R）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当$x∈[\frac{1}{a}，\frac{2}{a}]$时，$f（x）≥f（\frac{2}{a}）$，求a的取值范围；
（3）证明：?t∈[-1，1]，使得f（t）＜0．

Answer 1

分析 （1）求解f'（x）=1-ae^ax，分类讨论判断单调性．
（2）利用因为$f（x）≥f（\frac{2}{a}）$，所以$f（\frac{2}{a}）$是f（x）的最小值，利用导数讨论得出f（x）增区间为$（-∞，\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}）$，减区间$（\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}，+∞）$，利用最值得出以$\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}≤\frac{1}{a}$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}＜\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}＜\frac{2}{a}\\ f（\frac{1}{a}）≥f（\frac{2}{a}）\end{array}\right.$．
（3）分类讨论根据单调性得出最小值，①当a≤0时，f（-1）＜f（0）=0成立；当0＜a≤1时，f（-1）＜f（0）=0成立；当a＞1时，f（1）＜f（0）=0成立；判断存在问题的成立．

解答 解：（1）f'（x）=1-ae^ax
①当a≤0时，f'（x）=1-ae^ax＞0，所以f（x）的增区间为（-∞，+∞）
②当a＞0时，f'（x）=1-ae^ax＞0，解得$x＜\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}$，f（x）的增区间为$（-∞，\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}）$，减区间$（\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}，+∞）$
（2）因为$f（x）≥f（\frac{2}{a}）$，所以$f（\frac{2}{a}）$是f（x）的最小值，由题意a＞0，
由（1）f（x）增区间为$（-∞，\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}）$，减区间$（\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}，+∞）$
所以$\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}≤\frac{1}{a}$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}＜\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}＜\frac{2}{a}\\ f（\frac{1}{a}）≥f（\frac{2}{a}）\end{array}\right.$，解得$a≥\frac{1}{{{e^2}-e}}$
（3）因为f（0）=0
①当a≤0时，f（x）在R单调递增，所以存在t=-1，f（-1）＜f（0）=0成立；
②当0＜a≤1时，$\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}≥0$f（x）在[-1，0]上递增，所以存在t=-1，f（-1）＜f（0）=0成立；
③当a＞1时，$\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}＜0$，f（x）在[0，1]上递减，所以存在t=1，f（1）＜f（0）=0成立；
综上，总存在t∈[-1，1]，使得f（t）＜0．

点评 本题综合考查了导数的运用，学生的综合分析问题的能力，解决问题的能力，属于综合题目．