Question

对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（Ⅰ）若f（x）=2^x+m是定义在区间[-1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）=4^x-m2^x+1+m²-3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
注：函数y=x+

1

x

在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由局部奇函数的定义：存在x∈[-1，1]，f（-x）=-f（x），这样求出m=-

1

2

(2x+

1

2x

)，所以要求m的取值范围，只要求函数2x+

1

2x

的值域，而该函数的值域，根据利用导数求函数最值的方法求解，即先求该函数在[-1，1]上的极值，比较端点值，从而求出最值；
（Ⅱ）根据局部奇函数的定义：f（x）+f（-x）=0，得到4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-6=0，令2^x+2^-x=n（n≥2），带入上式得n²-2mn+2m²-8=0，关于n的方程有解，所以求出n=m±

8-m2

(-2

2

≤m≤2

2

)，所以需要m+

8-m2

≥2，即

8-m2

≥2-m，同过讨论m和2的关系解该不等式便得实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）根据局部奇函数的定义，存在x∈[-1，1]，使f（-x）=2^-x+m=-2^x-m；
∴m=-

1

2

(2x+

1

2x

)，令g（x）=2x+

1

2x

，则g′（x）=2xln2(1-

1

22x

)；
∴-1≤x＜0时，

1

4

≤22x＜1，1＜

1

22x

≤4，∴1-

1

22x

＜0，g′（x）＜0；
0＜x≤1时，1＜22x≤4，

1

4

≤

1

22x

＜1，∴1-

1

22x

＞0，g′（x）＞0；
∴g（0）=2是g（x）在[-1，1]上的最小值，又g（-1）=g（1）=

5

2

，所以g（x）的最大值是

5

2

；
∴2≤g(x)≤

5

2

，∴1≤

1

2

(2x+

1

2x

)≤

5

4

，∴-

5

4

≤m≤-1；
即实数m的取值范围为[-

5

4

，-1]；
（Ⅱ）根据局部奇函数的定义知，存在x∈R，使f（x）+f（-x）=0；
∴4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-6=0；
令2^x+2^-x=n（n≥2），则：n²-2mn+2m²-8=0，可将该式看成关于n的方程，n在[2，+∞）有解；
∴n=m±

8-m2

，m∈[-2

2

，2

2

]；
∴m+

8-m2

≥2    （1）；
①当2≤m≤2

2

，时（1）式恒成立；
②当-2

2

≤m＜2时，

8-m2

≥2-m，将该不等式整理成m²-2m-2≤0，解得1-

3

≤m≤1+

3

；
∴1-

3

≤m＜2；
综上得m的取值范围为[1-

3

，2

2

]．

点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，函数极值的概念，利用导数求函数最值的过程，以及解一元二次不等式．