Question

13．已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求S_n；
（2）令${b_n}=\frac{1}{S_n}$（n∈N₊），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₃=7，a₅+a₇=26，可得a₁+2d=7，2a₁+10d=26，即可得出．
（2）${b_n}=\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴a₁+2d=7，2a₁+10d=26，
联立解得a₁=3，d=2，
∴{a_n}的前n项和为S_n=3n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n（n+2）．
（2）${b_n}=\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．