题目内容
矩形
的中心在坐标原点，边
与
轴平行，=8，
=6.
分别是矩形四条边的中点，
是线段
的四等分点,
是线段
的四等分点.设直线
与
,
与
,
与
的交点依次为
.
（1）求以
为长轴，以
为短轴的椭圆Q的方程；
（2）根据条件可判定点都在（1）中的椭圆Q上，请以点L为例，给出证明（即证明点L在椭圆Q上）.
（3）设线段的
（
等分点从左向右依次为
，线段的等分点从上向下依次为
，那么直线
与哪条直线的交点一定在椭圆Q上？（写出结果即可，此问不要求证明）
（1）
；（2）详见解析；（3）
解析试题分析：根据长轴长
,短轴长
,可求出椭圆的方程；根据点
的坐标可写出直线的方程，同理也可写出直线
的方程，再求出它们的交点
的坐标，验证在椭圆上即可得证；类比（2）的结论，即可得到直线与直线的交点一定在椭圆Q上．
试题解析：
根据题意可知，椭圆的焦点在轴上，可设其标准方程为
，
因为长轴长,短轴长，所以
，
所以所求的椭圆的标准方程为：．
由题意知，
可得直线的方程为
，直线的方程为
，
联立可解得其交点
，将的坐标代入椭圆方程成立，即点在椭圆上得证．
另法：设直线、交点
，
由
三点共线得：
①
由
三点共线得：
②
①②相乘，整理可得
，即
所以L在椭圆上．
（3）类比（2）的结论，即可得到直线与直线的交点一定在椭圆Q上．
考点：本题考查了直线的方程，椭圆的方程的求解方法，以及直线与圆锥曲线的位置关系．
练习册系列答案
相关题目
中，点A、B的坐标分别为
，点C在x轴上方。
，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
的直线
交（1）中曲线于M、N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值。
轴上，离心率为
，长轴长为
，直线
交椭圆于不同的两点
．
的取值范围；
不经过椭圆上的点
，求证：直线
的斜率互为相反数．
的焦点，S是抛物线C在第一象限内的点，且|SF|=
.
轴分别交于两点A、B，延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点；
|NE|，求cos∠MSN的值.
：
的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．
的方程；
的直线
与椭圆
相交于
，
两点．点
，记直线
的斜率分别为
，当
最大时，求直线
的离心率为
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
，直线l的方程为：
的方程；
、
两点 
中点的横坐标为
，求斜率
的值；
，求证：
为定值 
：
（
）的右焦点
，右顶点
,右准线
且
．
：
与椭圆
，且与右准线相交于点
，试探究在平面直角坐标系内是否存在点
，使得以
为直径的圆恒过定点
坐标；若不存在，说明理由．
轴上，且过点
.
相切的直线
交抛物线于不同的两点
若抛物线上一点
满足
，求
的取值范围.
中，动点
到两点
，
的距离之和等于4，设点
且与曲线C交于A，B两点．