题目内容
知椭圆
的离心率为
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
，直线l的方程为：
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）已知直线l与椭圆相交于
、
两点
①若线段
中点的横坐标为
，求斜率
的值；
②已知点
，求证：
为定值
（Ⅰ）
；（Ⅱ）（1）
，（2）定值为
解析试题分析：(1)椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形,可以看作是以
长为底边，高为
的等腰三角形，故面积为
，从而可以列出等式
，又由离心率得
及
，可解出
，从而求出椭圆的方程 （2）直线和椭圆相交，其方程联立方程组，消去
，可得关于
的二次方程，利用韦达定理可得
，这就是相交弦的中点的横坐标，从而求出，把用坐标表示出来，借助（1）中的二次方程得出的
代入，就可证明出定值
试题解析：（Ⅰ）因为满足，， 2分
，解得
，
，
则椭圆方程为 4分
（Ⅱ）（1）设
，将代入并化简得
6分
，
则
是上述方程的解 
， 7分
因为的中点的横坐标为，所以
，解得 9分
（2）由（1），
，
，为定值
考点：（Ⅰ）椭圆的标准方程与几何性质；（Ⅱ）直线与椭圆的位置关系问题
练习册系列答案
相关题目
的椭圆C：
(a＞b＞0)的左、右焦点，直线
：x＝－
将线段F1F2分成两段，其长度之比为1:3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．
的取值范围．
的离心率为
，右准线方程为
,
与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在以双曲线C的实轴长为直径的圆上，求m的值.
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．
的方程；
(2，0)的直线与椭圆
，设
为椭圆上一点，且满足
（
为坐标原点），当
时，求实数
取值范围．
的中心在坐标原点，边
与
轴平行，
=6.
分别是矩形四条边的中点，
是线段
的四等分点,
是线段
的四等分点.设直线
与
,
与
,
与
的交点依次为
.
为长轴，以
为短轴的椭圆Q的方程；
（
等分点从左向右依次为
，线段
，那么直线
与哪条直线的交点一定在椭圆Q上？（写出结果即可，此问不要求证明）
、
.记其上顶点为
，右顶点为
.
上，且与坐标轴相切于椭圆焦点的圆的方程；
，使
的面积最大. 
的圆
与
轴及直线
均相切，切点分别为
、
，另一圆
与圆
、
．
的平行线
，求直线
经过点
，
.
为椭圆
的最大值.