Question

（本小题满分12分）已知函数，，，其中且.
（I）求函数的导函数的最小值；
（II）当时，求函数的单调区间及极值；
（III）若对任意的，函数满足，求实数的取值范围.

Answer 1

（I）；（II）单调增区间是，；单调减区间是；处取得极大值，在处取得极小值.（III）。

试题分析：（I），其中.
因为，所以，又，所以，
当且仅当时取等号，其最小值为. 2……………………4分
（II）当时，，.…5分
的变化如下表：

		0		0

 
所以，函数的单调增区间是，；单调减区间是.……7分
函数在处取得极大值，在处取得极小值.……8分
（III）由题意，.
不妨设，则由得. 
令，则函数在单调递增.10分
在恒成立.
即在恒成立.
因为，因此，只需.
解得. 故所求实数的取值范围为. …12分
点评：构造出函数，把证明转化为证明在单调递增是做本题的关键，运用了转化思想，对学生的能力要求较高，是一道中档题。