Question

（本小题满分12分）
已知：如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，且，为中点．

（1）证明：//平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求二面角的正弦值．

Answer 1

(1) 结交于点，连结，那么根据中位线性质可知// ，那么结合线面平行的判定定理来得到。
(2)建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的平面的法向量，借助于法向量的垂直来证明面面垂直。
(3)

试题分析：解：（1）

证明：连结交于点，连结                 ……………………1分
为中点，为中点，
//                                           ……………………2分
平面，平面，        ………3分
∴ //平面．                       
（2）证明：
⊥平面        
平面，
．                          …………4分
又在正方形中且， …5分
∴平面．                                 ……………………6分
又平面，
∴平面平面．                            ……………………7分
（3）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空
间直角坐标系．

由可知的坐标分别为
（0, 0, 0）, （2, 0, 0）,（2, 2, 0）,
（0, 2, 0）, （0, 0, 2）, （0, 1, 1） ．………9分
平面，∴是平面的法向量，=（0, 0, 2）．
设平面的法向量为
, ,
则 即                       
∴ 
∴ 令,则．                            ………………11分
∴,           
二面角的正弦值为                      …………………12分
点评：解决证明试题，一般要运用线面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，来分析得到，而对于求解二面角一般可以运用定义法，或者是三垂线定理法，以及向量法来表示得到，属于中档题。