Question

（本题15分）如图，在四棱锥中，底面，， ，， ，是的中点。

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：平面；
（Ⅲ）求二面角的正切值．

Answer 1

（1）四棱锥中，因底面，故，结合，平面，进而证明
（2）根据底面在底面内的射影是，，，从而证明。
（3）

试题分析：解法一：
（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，
故．
，平面．
而平面，．…………………4分
（Ⅱ）证明：由，，可得．
是的中点，．
由（Ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面内的射影是，，．
又，综上得平面． …………………9分

（Ⅲ）过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．
由已知，得．设，
可得
．
在中，，，
则．
在中，．
所以二面角的正切值为．  ………………15分
解法二：
（Ⅰ）证明：以AB、AD、AP为x、y，z轴建立空间直角坐标系，设AB=a.




 
…………………5分
（Ⅱ）证明：
 

…………………9分
（Ⅲ）设平面PDC的法向量为
则
又平面APD的法向量是
，所以二面角的正切值是 …………………15分
点评：解决该试题的关键是利用空间中的点线面的位置关系，来结合定理加以证明，同时结合向量法求解二面角，需要运算细心点，中档题。