Question

13．（普通班）已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁+a₂=2（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$），a₃+a₄+a₅=64（$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{5}}$）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设公比为q，由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+q）=\frac{2}{{a}_{1}}（1+\frac{1}{q}）}\\{{a}_{1}{q}^{2}（1+q+{q}^{2}）=\frac{64}{{a}_{1}{q}^{2}}（1+\frac{1}{q}+\frac{1}{{q}^{2}}）}\end{array}\right.$，化简解出即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设公比为q，则a_n=${a}_{1}{q}^{n-1}$．
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+q）=\frac{2}{{a}_{1}}（1+\frac{1}{q}）}\\{{a}_{1}{q}^{2}（1+q+{q}^{2}）=\frac{64}{{a}_{1}{q}^{2}}（1+\frac{1}{q}+\frac{1}{{q}^{2}}）}\end{array}\right.$，

化简得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}^{2}q=2}\\{{a}_{1}^{2}{q}^{6}=64}\end{array}\right.$，又a₁＞0，
解得q=2，a₁=1．
∴a_n=2^n-1．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．