Question

3．如图，函数F（x）的图象是由指数函数f（x）=b^x与幂函数g（x）=x^a“拼接”而成，记m=a^a，n=a^b，p=b^a，q=b^b则m，n，p，q的大小关系为p＜m＜q＜n（用“＜”连接）．

Answer 1

分析 将（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）分别代入f（x）和g（x），求出a，b的值，计算出m，n，p，q．

解答 解：由函数图象可知f（$\frac{1}{4}$）=g（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$，∴b${\;}^{\frac{1}{4}}$=（$\frac{1}{4}$）^a=$\frac{1}{2}$．解得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{16}$．
∴m=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$，n=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{16}}$，p=（$\frac{1}{16}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$=（$\frac{1}{2}$）²，q=（$\frac{1}{16}$）${\;}^{\frac{1}{16}}$=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{4}}$，
∵y=（$\frac{1}{2}$）^x是减函数，∴（$\frac{1}{2}$）²＜（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$＜（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{4}}$＜（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{16}}$．
故答案为p＜m＜q＜n

点评 本题考查了指数函数单调性的应用，将m，n，p，q表示成同底的分数指数幂是关键．