Question

20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜π），在同一周期内，当x=$\frac{π}{12}$时，f（x）取得最大值3；当x=$\frac{7}{12}$π时，f（x）取得最小值-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]时，方程2f（x）+1-m=0有两个根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{m-1}{6}$在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上有两个根，再利用正弦函数的图象求得m的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜π），在同一周期内，当x=$\frac{π}{12}$时，f（x）取得最大值3；
当x=$\frac{7π}{12}$π时，f（x）取得最小值-3．∴A=3，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$，∴ω=2．
又∵函数在同一周期内，当x=$\frac{π}{12}$时，f（x）取得最大值3．
∴2×$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，（k∈Z）解得 φ=2kπ+$\frac{π}{3}$，（k∈Z），
又∵|φ|＜π，∴φ=$\frac{π}{3}$，∴f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）∵在x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]时，∴2f（x）+1-m=0有两个根，∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{m-1}{6}$在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上有两个根，
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤$\frac{m-1}{6}$＜1，
∴结合函数图象，有2f（x）+1在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上能取两根的范围是[3$\sqrt{3}$+1，7），
∴m∈[3$\sqrt{3}$+1，7）．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．