Question

12．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA₁的长为5．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）设M是BC中点，求直线A₁M与平面ABC所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=S_△ABC×AA₁=$\frac{1}{2}×AB×AC×A{A}_{1}$，由此能求出结果．
（2）连结AM，∠A₁MA是直线A₁M与平面ABC所成角，由此能求出直线A₁M与平面ABC所成角的大小．

解答 解：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为直角三角形，
两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA₁的长为5．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积：
V=S_△ABC×AA₁
=$\frac{1}{2}×AB×AC×A{A}_{1}$
=$\frac{1}{2}×4×2×5$=20．
（2）连结AM，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为直角三角形，
两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA₁的长为5，M是BC中点，
∴AA₁⊥底面ABC，AM=$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{16+4}$=$\sqrt{5}$，
∴∠A₁MA是直线A₁M与平面ABC所成角，
tan∠A₁MA=$\frac{A{A}_{1}}{AM}$=$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
∴直线A₁M与平面ABC所成角的大小为arctan$\sqrt{5}$．

点评 本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．