Question

已知函数f（x）=4x³-3x²sinθ+

1

32

，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ＜π．
（1）当θ=0时，判断函数f（x）是否有极值，说明理由；
（2）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f（x）在区间（2a-1，a）内都是增函数，求a的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当θ=0时，f（x）=4x³+

1

32

在（-∞，+∞）内是增函数，无极值．
（2）f′（x）=12x²-6xsinθ，令f′（x）=0，得x₁=0，x2=

sinθ

2

，由此利用导数性质能求出参数θ的取值范围．（3）由题设，a须满足不等式组

2a-1＜a a≤0

，或

2a-1＜a 2a-1≥ 1 2 sinθ

，由此能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）当θ=0，即sinθ=0时，f（x）=4x³+

1

32

，
则f（x）在（-∞，+∞）内是增函数，故无极值．…（3分）
（2）f′（x）=12x²-6xsinθ，令f′（x）=0，得x₁=0，x2=

sinθ

2

，
由0≤θ＜π及（1），只需考虑sinθ＞的情况．…（5分）
当x变化时，f′（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， sinθ 2 ）	sinθ 2	（ sinθ 2 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

因此，函数f（x）在x=

sinθ

2

处取得极小值f（

sinθ

2

），
且f(

sinθ

2

)=-

1

4

sin3θ+

1

32

，
要使f(

sinθ

2

)＞0，必有-

1

4

sin3θ+

1

32

＞0，得0＜sinθ＜

1

2

，
所以0＜θ＜

π

6

或

5π

6

＜θ＜π．…（9分）
（3）解：由（2）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与（

sinθ

2

，+∞）内都是增函数．
由题设，函数f（x）在（2a-1，a）内是增函数，
则a须满足不等式组

2a-1＜a a≤0

，或

2a-1＜a 2a-1≥ 1 2 sinθ

，…（12分）
由（2）中0＜θ＜

π

6

或

5π

6

＜θ＜π时，0＜sinθ＜

1

2

，
要使不等式2a-1≥

1

2

sinθ，关于参数θ恒成立，必有2a-1≥

1

4

，
综上所述，a的取值范围是（-∞，0]∪[

5

8

，1）．…（14分）

点评：本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．