Question

【题目】已知以为首项的数列满足：.

（1）当时，且，写出、；

（2）若数列是公差为-1的等差数列，求的取值范围；

（3）记为的前项和，当时，

①给定常数，求的最小值；

②对于数列，，…，，当取到最小值时，是否唯一存在满足的数列？说明理由.

Answer 1

【答案】（1） ，；（2） ；（3）①为奇数时最小值为，当为偶数时最小值为 ； ②不唯一，理由见解析。

【解析】

（1）根据首项，及递推公式，依次代入和即可求得、的值。

（2）根据等差数列通项公式，表示出，根据绝对值的非负性可得，再根据即可求得的取值范围。

（3）将代入，求得……值，即可表示出的最小值；举出特例，说明使得成立的数列不唯一即可。

（1）因为，且，

所以当 时，即

所以当 时，即

（2）因为数列是公差为-1的等差数列

所以，即①，

而，则，即

当时，

因为

所以或与①矛盾，（舍）

所以

所以

（3）当时

所以，或，或…..

①当为奇数时的最小值为，

当为偶数时的最小值为

②不唯一

因为满足

如数列 和 ，两个数列都满足

因而不存在唯一的数列满足式子