Question

函数f（x）=ae^x+x²+x+1（a∈R）的图象M经过点（0，2），若图象M关于直线2x-y-3=0对称的图象为N，P，Q分别是两图象上的动点，|PQ|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：求出曲线上与直线2x-y-3=0平行，且相切的切点的坐标，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．

解答： 解：∵函数f（x）=ae^x+x²+x+1（a∈R）的图象M经过点（0，2），
∴a=1，
∴f（x）=e^x+x²+x+1，
∴f′（x）=e^x+2x+1，
令e^x+2x+1=2，则x=0，此时f（0）=2，
（0，2）到直线的距离为

5

5

=

5

，
∵图象M关于直线2x-y-3=0对称的图象为N，P，Q分别是两图象上的动点，
∴|PQ|的最小值为2

5

．
故答案为：2

5

．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查点到直线的距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．