Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，2S_n）（n∈N⁺）均在函数y=x²+x的图象上
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由点（n，2S_n）（n∈N⁺）均在函数y=x²+x的图象上，可得2S_n=n²+n，利用递推关系即可得出；
（2）由已知得：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵点（n，2S_n）（n∈N⁺）均在函数y=x²+x的图象上，
∴2S_n=n²+n，
当n=1时，2S₁=2a₁=2，解得a₁=1；
当n≥2时，$2{S}_{n-1}=（n-1）^{2}$+（n-1），
可得2a_n=2n，解得a_n=n．
经检验：n=1时也满足上式．
综上可得：a_n=n．（n∈N⁺）．
（2）由已知得：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．