Question

已知圆C₁的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l₁：x-y-2

2

=0相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）设点A（x₀，y₀）为圆上任意一点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足

OQ

=m

OA

+n

ON

，（其中m+n=1，m，n≠0，m为常数），试求动点Q的轨迹方程C₂．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：（1）根据直线和圆相切的等价条件求出圆的半径，即可求圆的标准方程；
（2）设出动点Q的坐标，根据向量共线，利用代入法即可求出动点Q的轨迹方程C₂．

解答： 解：（1）∵圆C₁的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l₁：x-y-2

2

=0相切，
∴圆心到直线的距离d=r，
r=

|0-2 2 |

1+1

=

2 2

2

=2，
则圆的标准方程为x²+y²=4．
（2）设动点Q（x，y），A（x₀，y₀），AN⊥x轴，N（x₀，0）
由题意（x，y）=m（x₀，y₀）+n（x₀，0），
∴

x=(m+n)x0=x0 y=my0

即

x0=x y0= 1 m y

，
将A(x，

1

m

y)代入x²+y²=4得

x2

4

+

y2

4m2

=1．

点评：本题主要考查圆的标准方程和与圆有关的轨迹方程的求解，根据条件建立圆心到直线的距离关系以及利用代入法是解决求轨迹问题的基本方法．