Question

函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_k+1，其中k∈N⁺，若a₁=16，则a₁+a₃+a₅=

21

．

Answer 1

分析：由y=x²（x＞0），求出y=x²（x＞0）在点（a_k，a_k²）处的切线方程是2a_kx-y-a_k²=0，再由切线与x轴交点的横坐标为a_k+1，知a_k+1=

1

2

ak，所以{a_n}是首项为a₁=1，公比q=

1

2

的等比数列，
由此能求出a₁+a₃+a₅．

解答：解：∵y=x²（x＞0），
∴y′=2x，
∴y=x²（x＞0）在点（a_k，a_k²）处的切线方程是：
y-a_k²=2a_k（x-a_k），
整理，得2a_kx-y-a_k²=0，
∵切线与x轴交点的横坐标为a_k+1，
∴a_k+1=

1

2

ak，
∴{a_n}是首项为a₁=1，公比q=

1

2

的等比数列，
∴a₁+a₃+a₅=16+16×

1

4

+16×

1

16

=21．
故答案为：21．

点评：本题考查数列与函数的综合，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用．