Question

函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_k+1，k为正整数，a₁=

1

2

，则a_n=

(

1

2

)n

．

Answer 1

分析：由y=x²（x＞0），知函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线方程为：2akx-y-ak2=0 ，当y=0时，x=a_k+1=

1

2

ak，由a₁=

1

2

，知{a_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，由此能求出a_n．

解答：解：∵y=x²（x＞0），
∴y′=2x，f′（a_k）=2a_k，
∴函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线方程为：
y-ak2=2ak(x-ak)，
整理，得2akx-y-ak2=0 ，
当y=0时，x=a_k+1=

1

2

ak，
∵a₁=

1

2

，∴{a_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
∴an=(

1

2

)n．
故答案为：(

1

2

)n．

点评：本题考查数列与函数的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质、函数的切线方程、等比数列等知识点的合理运用．