Question

函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_k+1（ k为正整数），其中a₁=16．设正整数数列{b_n}满足：b1=

a1

a2

，b2=a3+a4，当n≥2时，有|bn2-bn-1bn+1|＜

1

2

bn-1．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项；
（Ⅲ）记Tn=

12

b1

+

22

b2

+

32

b3

+…+

n2

bn

，证明：对任意n∈N^*，Tn＜

9

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在点（a_k，a_k²）处的切线方程为：y-a_k²=2a_k（x-a_k），当y=0时，解得x=

ak

2

，所以ak+1=

ak

2

，由a₁=16，知a₂=8，a₃=4，由此能推导出b₁，b₂，b₃，b₄的值．
（Ⅱ）猜想：b_n=2•3^n-1，再由数学归纳法进行证明．
（Ⅲ）由2Tn=1+

22

3

+

32

32

+…+

n2

3n-1

，得

2

3

Tn=

12

3

+

22

32

+…+

(n-1)2

3n-1

-

n2

3n

，所以

4

9

Tn=

1

3

+

3

32

+…+

2n-3

3n-1

-

2n-1

3n

-

n2

3n+1

，

8

9

Tn=1+

2

3

+

2

32

+…+

2

3n-1

-

(n-1)2

3n

-

n2

3n+1

=2-

2(n2-3n+6)

3n+1

＜2，故Tn＜

9

4

．

解答：解：（Ⅰ）在点（a_k，a_k²）处的切线方程为：y-a_k²=2a_k（x-a_k），
当y=0时，解得x=

ak

2

，所以ak+1=

ak

2

，
又∵a₁=16，∴a₂=8，a₃=4，
a₄=2b1=

a1

a2

=2，b2=a3+a4=6
n=2时，|b22-b1b3|＜

1

2

b1，
由已知b₁=2，b₂=6，得|36-2a₃|＜1，
因为b₃为正整数，所以b₃=18，同理b₄=54..（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：b_n=2•3^n-1（5分）
证明：①n=1，2时，命题成立；
②假设当n=k-1与n=k（k≥2且k∈N）时成立，
即b_k=2•3^k-1，b_k-1=2•3^k-2．
于是|bk2-bk-1bk+1|＜

1

2

bk-1，
整理得：|

bk2

bk-1

-bk+1|＜

1

2

由归纳假设得：|2•3k-bk+1|＜

1

2

?2•3k-

1

2

＜bk+1＜2•3k+

1

2

因为b_k+1为正整数，所以b_k+1=2•3^k
即当n=k+1时命题仍成立．
综上：由知①②知对于?n∈N^*，有b_n=2•3^n-1成立（10分）
（Ⅲ）证明：由2Tn=1+

22

3

+

32

32

+…+

n2

3n-1

③
得

2

3

Tn=

12

3

+

22

32

+…+

(n-1)2

3n-1

-

n2

3n

④
③式减④式得

4

3

Tn=

12

3

+

22

32

+…+

(n-1)2

3n-1

-

n2

3n

⑤

4

9

Tn=

1

3

+

3

32

+…+

2n-3

3n-1

-

2n-1

3n

-

n2

3n+1

⑥
⑤式减⑥式得

8

9

Tn=1+

2

3

+

2

32

+…+

2

3n-1

-

(n-1)2

3n

-

n2

3n+1

=-1+2(1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

)-

(n-1)2

3n

+

n2

3n+1

=1+2•

1- 1 3n

1- 1 3

=

(n-1)2

3n

+

n2

3n+1

=-1+3-

1

3n-1

-

(n-1)2

3n

+

n2

3n+1

=2-

2(n2-3n+6)

3n+1

＜2
则Tn＜

9

4

．（16分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．