题目内容
5．已知函数f（x）=$\frac{{{x^2}+1}}{x}$，（1）求f（x）的定义域；
（2）证明f（x）函数为奇函数；
（3）判别并证明函数在区间（-∞，-1）上的单调性．
分析 （1）根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（3）根据函数单调性的定义进行判断和证明．
解答 解：（1）要使函数有意义，则x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}；
（2）f（-x）=$\frac{{x}^{2}+1}{-x}$=-$\frac{{{x^2}+1}}{x}$=-f（x），
则f（x）函数为奇函数；
（3）f（x）=$\frac{{{x^2}+1}}{x}$=x+$\frac{1}{x}$，
设x1＜x2＜-1，
则f（x1）-f（x2）=x1+$\frac{1}{{x}_{1}}$-x2-$\frac{1}{{x}_{2}}$=（x1-x2）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x1-x2）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）=（x1-x2）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x1＜x2＜-1，
∴x1-x2＜0，x1x2＞1，
则x1x2-1＞0，
f（x1）-f（x2）=（x1-x2）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
则f（x1）＜f（x2），
即函数在区间（-∞，-1）上的单调性．
点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．
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