Question

13．数列{x_n}，{y_n}定义如下：x₁=1，y₁=39，且x_n+1=23x_n+y_n+2，y_n+1=551x_n+24y_n+64，n=1，2…
证明：对一切正整数n，x_n是完全平方数．

Answer 1

分析 由已知24x_n+1=24×23x_n+24y_n+48，y_n+1=551x_n+24y_n+64，两式相减，得：x_n+2=47x_n+1-x_n+18，从而x_n+3=48x_n+2-48x_n+1+x_n，设${a}_{n}=\sqrt{{x}_{n}}$，则${{a}_{n+3}}^{2}=48{{a}_{n+2}}^{2}-48{{a}_{n+1}}^{2}+{{a}_{n}}^{2}$，再证明{a_n}是正整数数列，由此能证明对于一切正整数n，x_n是完全平方数．

解答 证明：∵数列{x_n}，{y_n}定义如下：x₁=1，y₁=39，
且x_n+1=23x_n+y_n+2，y_n+1=551x_n+24y_n+64，n=1，2…
∴24x_n+1=24×23x_n+24y_n+48，y_n+1=551x_n+24y_n+64，
两式相减，得：24x_n+1=y_n+1+x_n-16，又x_n+2=23x_n+1+y_n+1+2，
消去y_n+1，得：x_n+2=47x_n+1-x_n+18，
∴x_n+3=47x_n+2-x_n+1+18，
两式相减，得：x_n+3=48x_n+2-48x_n+1+x_n，
由x₁=1，y₁=39，得x₂=64，y₂=3025，
设${a}_{n}=\sqrt{{x}_{n}}$，则a₁=1，a₂=8，a₃=55，且${{a}_{n+3}}^{2}=48{{a}_{n+2}}^{2}-48{{a}_{n+1}}^{2}+{{a}_{n}}^{2}$，①
下面证明{a_n}是正整数数列，
由①得：${{a}_{n+3}}^{2}-（49{{a}_{n+2}}^{2}-14{a}_{n+2}{a}_{n+3}+{{a}_{n+1}}^{2}）$=${{a}_{n}}^{2}-（49{{a}_{n+1}}^{2}-14{a}_{n+1}{a}_{n+2}+{{a}_{n+2}}^{2}）$，
∴（a_n+3+a_n+1-7a_n+2）（a_n+3+7a_n+2-a_n+1）=（a_n+2+a_n-7a_n+1）（a_n+3+7a_n+1-a_n+2）．
∵${a}_{3}+{a}_{1}-7{a}_{2}=\sqrt{3025}+\sqrt{1}-7\sqrt{64}$=0，∴（a_n+3+a_n+1-7a_n+2）（a_n+3+7a_n+2-a_n+1）=0，
∵{x_n}是严格单调增函数，∴{a_n}也是严格单调增函数，
∴a_n+3+7a_n+2-a_n+1＞0，
∴a_n+3+a_n+1-7a_n+2=0，即a_n+3=7a_n+2-a_n+1，a₁=1，a₂=8，
∴{a_n}是正整数数列，
从而对于一切正整数n，x_n是完全平方数．

点评 本题考查对一切正整数n，x_n是完全平方数的证明，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，注意函数的单调性、数列的性质的合理运用．