Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求直线BC与平面APB所成角的正弦值；
（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB中点D，连接PD，CD；根据AP=BP以及AC=BC，即可证得AB⊥平面PCD；进而得到结论；
（Ⅱ）先根据条件得到BC⊥平面PAC．再取AP中点E，连接BE，CE，推得EC是BE在平面PAC内的射影，转化为求∠EBC即可；
（Ⅲ）先结合（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，得到平面APB⊥平面PCD．再过C作CH⊥PD，垂足为H，可得CH的长即为点C到平面APB的距离，然后通过解三角形求出其长即可．

解答：解：（Ⅰ）∵AP=BP，∴PD⊥AB．…1
∵AC=BC，∴CD⊥AB．…2
∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．…3
∵PC∩平面PCD．∴PC⊥AB．…4
（Ⅱ）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≌△BPC．
又PC⊥BC．∴PC⊥BC．
又∠ACB=90°，即AC⊥BC．
且AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC．
取AP中点E，连接BE，CE．
∵AB=BP，∴BE⊥AP．
∵EC是BE在平面PAC内的射影．∴CE⊥AP．
∴∠EBC是直线BC与平面APB所成的角                        …6
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，BE=

3

2

AB=

6

，sin∠EBC=

EC

BE

=

3

3

．…8
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，∴平面APB⊥平面PCD．
过C作CH⊥PD，垂足为H．
∵平面APB∩平面PCD=PD，∴CH⊥平面APB．
∴CH的长即为点C到平面APB的距离，…10
由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC=A．
∴PC⊥平面ABC．CD?平面ABC．
∴PC⊥CD．
在Rt△PCD中，CD=

1

2

AB=

2

，PD=

3

2

PB=

6

，
∴PC=

PD2-CD2

=2．
∴CH=

PC•CD

PD

=

2 3

3

．
∴点C到平面APB的距离为

2 3

3

．…12

点评：本题主要考察线线垂直的证明以及线面所成的角和点到面的距离问题．其中在证明线线垂直时，一般先证明线面垂直，进而得线线垂直．