Question

如图，在四边形中，，，点为线段上的一点.现将沿线段翻折到（点与点重合），使得平面平面，连接，.

(Ⅰ)证明：平面；
(Ⅱ)若，且点为线段的中点，求二面角的大小.

Answer 1

(Ⅰ)连接，交于点,在四边形中，
证得，推出,从而，得到平面。
(Ⅱ)二面角的大小为.

试题分析：(Ⅰ)连接，交于点,在四边形中，
∵，
∴，∴,
∴
又∵平面平面，且平面平面=
∴平面      ……… 6分
(Ⅱ)如图，以为原点，直线，分别为轴，轴，平面内过且垂直于直线的直线为轴建立空间直角坐标系，可设点
又，，，，且由，有
，解得，∴      ８分
则有，设平面的法向量为，
由，即，故可取            １０分
又易取得平面的法向量为，并设二面角的大小为，
∴，∴ 
∴二面角的大小为.     １２分
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。证明过程中，往往需要将立体几何问题转化成平面几何问题加以解答。本题解答，通过建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，简化了繁琐的证明过程，实现了“以算代证”，对计算能力要求较高。