Question

17．设F₁，F₂分别是椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1的左、右焦点．
（1）若M是该椭圆上的一点，且∠F₁MF₂=120°，求△F₁MF₂的面积；
（2）若P是该椭圆上的一个动点，求$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由由椭圆标准方程：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1，a=2，b=1，c²=a²-b²=3，求得F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），丨F₁F₂丨=2$\sqrt{3}$，由椭圆的定义可知：丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a=4，由余弦定理可知：丨F₁F₂丨=丨MF₁丨²+丨MF₂丨²-2丨MF₁丨•丨MF₂丨cos∠F₁MF₂，代入即可求得丨MF₁丨•丨MF₂丨=4，由三角形的面积公式可知S=$\frac{1}{2}$×丨MF₁丨•丨MF₂丨×sin∠F₁MF₂，即可求得△F₁MF₂的面积；
（2）由（1）可知F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），设P （x，y），（-2≤x≤2），则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x，-y），根据向量数量积的坐标表示，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$\frac{1}{4}$（3x²-8），由x的取值范围，当x=0，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$有最小值-2； 当x=±2，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$有最大值1．

解答 解：（1）由椭圆标准方程：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1，a=2，b=1，c²=a²-b²=3，
∴F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
∴丨F₁F₂丨=2$\sqrt{3}$，又M是该椭圆上的一点，
∴丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a=4，
∵∠F₁MF₂=120°，
∴在△F₁MF₂中，由余弦定理可知：丨F₁F₂丨=丨MF₁丨²+丨MF₂丨²-2丨MF₁丨•丨MF₂丨cos∠F₁MF₂，
∴（2$\sqrt{3}$）²=4-丨MF₁丨•丨MF₂丨，解得：丨MF₁丨•丨MF₂丨=4，
∴△F₁MF₂的面积为S=$\frac{1}{2}$×丨MF₁丨•丨MF₂丨×sin∠F₁MF₂=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
△F₁MF₂的面积$\sqrt{3}$；
（2）设P （x，y），（-2≤x≤2），$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x，-y），
则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²+y²-3=x²+1-$\frac{{x}^{2}}{4}$-3=$\frac{1}{4}$（3x²-8），
∵-2≤x≤2，
∴当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$有最小值-2；
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$有最大值1．

点评 本题考查椭圆的焦点三角形的面积公式，考查余弦定理的应用，向量数量积的坐标表示，考查二次函数的性质，考查计算能力，属于中档题．