Question

【题目】如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为正三角形，且E为AD的中点，BE⊥平面PAD．

（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEB；

（Ⅱ）求平面PEB与平面PDC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析 ； （2）.

【解析】

(Ⅰ)先证明BC⊥平面PEB，再证明平面PBC⊥平面PEB. （Ⅱ）建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法求平面PEB与平面PDC所成的锐二面角的余弦值．

（Ⅰ）∵BE⊥平面PAD，又AD平面PAD，∴AD⊥BE，

又∵△PAD为正三角形，E为AD的中点，∴AD⊥PE，

又∵PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PEB，ABCD为菱形，∴，∴BC⊥平面PEB，

又BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEB.

（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系E-xyz，

设菱形ABCD的边长为2，则AE=ED=1，PE=EB=，

C（－2，0），D（－1，0，0），P（0，0，），

.

设平面PDC的一个法向量为，

由，得，取y＝1，得，

又平面PEB的一个法向量为.

，∴平面PEB与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.