题目内容
【题目】已知分别是正四面体的棱
上的点,且
,若
,
,则四面体
的体积是_________.
【答案】
【解析】
由题意画出图形,设PD=x,PE=y,PF=z,由余弦定理得到关于x,y,z的方程组,求解可得x,y,z的值,然后分别求出三角形PDE的面积及F到平面PDE的高,代入棱锥体积公式得答案.
如图,
设PD=x,PE=y,PF=z,则
∵DE=2,DF=EF=,
∴由余弦定理得,x2+y2﹣2xy=4①
y2+z2﹣2yz=7②
z2+x2﹣2zx=7③
③﹣②得,x2﹣y2=xz﹣yz,
即(x+y)(x﹣y)=z(x﹣y),
∵x≠y,则z=x+y,
代入②,得x2+y2+xy=7,
又x2+y2﹣xy=4,不妨设x>y,
解得,x=,y=
,z=
.
则=
,
F到平面PDE的距离d=.
∴VP﹣DEF=.
故答案为:.
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