Question

已知二次函数f（x）=ax²+x，若对任意x₁，x₂∈R恒有f（

x1+x2

2

）≤

f( x   1 )+f( x   2 )

2

成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、a≥0
• B、a＞0
• C、a≤0
• D、a＜0

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：将x=

x1+x2

2

，x=x₁，x=x₂代入不等式，整理得；a（x₁-x₂）²≥0，从而求出a的范围；

解答： 解：由f（

x1+x2

2

）≤

f( x   1 )+f( x   2 )

2

恒成立，得：

a(x1+x2)2

2

+（x₁+x₂）≤ax₁²+x₁+ax₂²+x₂，
整理得：a（x₁-x₂）²≥0，
∴a≥0；
又由函数f（x）=ax²+x为二次函数，a≠0，
可得实数a的取值范围是a＞0，
故选：B

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，本题考查的实质是函数的凸凹性，难度不大，属于基础题．