Question

19．已知f（x）=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$-2sinxcosx．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得解析式f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），利用周期公式即可得解；
（2）根据函数解析式，利用余弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$-2sinxcosx
=cos（$\frac{3x}{2}$+$\frac{x}{2}$）-sin2x
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴当sin（2x+$\frac{π}{4}$）=1时，f（x）_max=$\sqrt{2}$，
当sin（2x+$\frac{π}{4}$）=-1时，f（x）_min=-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的最值，着重考查周期公式的应用及余弦函数的最值，属于基础题．