Question

已知f(x)=

4×2x+2

2x+1

+ln(x+

1+x2

)，若f（x）在[-2，2]上的最大值，最小值分别为M，N，则M+N=

6

．

Answer 1

分析：要求f（x）的最大值与最小值之和，可分解为求

4×2x+2

2x+1

的最大值与最小值之和ln(x+

1+x2

)的最大值与最小值之和，利用它们的单调性，求解即可．

解答：解：∵f(x)=

4×2x+2

2x+1

+ln(x+

1+x2

)，x∈[-2，2]
∴设g（x）=

4×2x+2

2x+1

，
则g（x）=

4×2x+4-2

2x+1

=4-

2

2x+1

，
∵2^x是R上的增函数，∴g（x）也是R上的增函数．
∴函数g（x）在[-2，2]上的最大值是g（2），最小值是g（-2）．
∵函数y=ln(x+

1+x2

)是奇函数，它在[-2，2]上的最大值与最小值互为相反数，最大值与最小值的和为0．
∴函数f（x）的最大值M与最小值N之和M+N=g（2）+g（-2）
=4-

2

4+1

+4-

2

1 4 +1

=8-2
=6．
故答案为：6．

点评：本题通过求函数的最值问题，综合考查了有理数指数幂的运算性质，指数函数的单调性，正弦函数的单调性，难度比较大．