题目内容
已知f(x)=-
，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn(an，-
)在曲线y=f（x）上（n∈N*），且a1=1，an＞0．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn]的前n项和为Tn，且满足
=
+16n2-8n-3，b1=1，求证：数列{
}是等差数列，并求数列{bn]的通项公式．
4+
|
| 1 |
| an+1 |
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn]的前n项和为Tn，且满足
| Tn+1 |
| an2 |
| Tn |
| an+12 |
| Tn |
| 4n-3 |
分析：（1）由已知得出-
=f（an）=-
，且an＞0，两边平方并移向得出
-
=4，
判断出数列{
}是等差数列后通项公式易求．
（2）由an=
(n∈N*)代入
=
+16n2-8n-3，计算整理，并判断出数列{
}是等差数列．求出Tn后再求bn．
| 1 |
| an+1 |
4+
|
| 1 |
| an+12 |
| 1 |
| an2 |
判断出数列{
| 1 |
| an2 |
（2）由an=
| 1 | ||
|
| Tn+1 |
| an2 |
| Tn |
| an+12 |
| Tn |
| 4n-3 |
解答：解：（1）由已知，-
=f（an）=-
，且an＞0，
∴
=
两边平方并移向得出
-
=4，
∴数列{
}是等差数列首项
=1公差d=4
∴
=1+4（n-1）=4n-3．
∴an=
(n∈N*)…（6分）
（2）由an=
(n∈N*)，
=
+16n2-8n-3
得（4n-3）Tn+1=（4n+1）Tn+（4n-3）（4n+1），
∴
-
=1，
∴数列{
}是等差数列．…（10分）
∴
=n，
∴Tn=4n2-3n
当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=8n-7，b1=1也满足上式
∴bn=8n-7…（12分）
| 1 |
| an+1 |
4+
|
∴
| 1 |
| an+1 |
4+
|
| 1 |
| an+12 |
| 1 |
| an2 |
∴数列{
| 1 |
| an2 |
| 1 |
| a12 |
∴
| 1 |
| an2 |
∴an=
| 1 | ||
|
（2）由an=
| 1 | ||
|
| Tn+1 |
| an2 |
| Tn |
| an+12 |
得（4n-3）Tn+1=（4n+1）Tn+（4n-3）（4n+1），
∴
| Tn+1 |
| 4n+1 |
| Tn |
| 4n-3 |
∴数列{
| Tn |
| 4n-3 |
∴
| Tn |
| 4n-3 |
∴Tn=4n2-3n
当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=8n-7，b1=1也满足上式
∴bn=8n-7…（12分）
点评：本题考查等差数列的判定、通项公式求解．考查变形构造、转化、计算能力．
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