Question

已知f(x)=

4+ 1 x2

，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（a_n，

1

an+1

）（n∈N^*）在曲线y=f（x）上，且a₁=1，a_n＞0．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）数列{b_n}的首项b₁=1，前n项和为T_n，且

Tn+1

an2

=

Tn

an+12

+16n2-8n-3，求数列{b_n}的通项公式b_n．

Answer 1

分析：（1）点P_n（a_n，

1

an+1

）（n∈N^*）在曲线y=f（x）上，代入f（x）的解析式化简可得数列{

1

an2

}是等差数列，根据首项与公差写出数列{

1

an2

}的通项公式，根据且a₁=1，a_n＞0，即可得到数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入

Tn+1

an2

=

Tn

an+12

+16n2-8n-3中，化简后得到

Tn+1

4n+1

-

Tn

4n-3

=1，设

Tn

4n-3

=cn，则上式变为c_n+1-c_n=1，得到{c_n}是等差数列．求出{c_n}的通项公式，
代入即可求得T_n的通项公式，然后利用b_n=T_n-T_n-1即可得到数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（1）由题意知

1

an+1

=

4+ 1 an2

．
∴

1

an+12

=4+

1

an2

．
∴

1

an+12

-

1

an2

=4，即{

1

an2

}是等差数列．
∴

1

an2

=

1

a12

+4（n-1）=1+4n-4=4n-3．
∴an2=

1

4n-3

．
又∵a_n＞0，
∴an=

1

4n-3

．
（2）由题设知（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+（4n+1）（4n-3）．
∴

Tn+1

4n+1

-

Tn

4n-3

=1．
设

Tn

4n-3

=cn，则上式变为c_n+1-c_n=1．
∴{c_n}是等差数列．
∴c_n=c₁+n-1=

T1

1

+n-1=b₁+n-1=n．
∴

Tn

4n-3

=n，即T_n=n（4n-3）=4n²-3n．
∴当n=1时，b_n=T₁=1；
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=4n²-3n-4（n-1）²+3（n-1）=8n-7．
经验证n=1时也适合上式．
∴b_n=8n-7（n∈N^*）．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，会确定一个数列为等差数列，是一道综合题．