Question

1．甲、乙两个粮库要项A，B量诊运送大米，已知甲库将调出100吨大米，乙库将调出80吨大米，A镇至少需要60吨大米，B镇至少需要100吨大米，且甲往B镇运送大米的吨数不少于乙往A镇运送大米的吨数的2倍，两库到两镇运费如表（其中a为常数，$\frac{1}{2}$＜a＜2）．

	运费（元/吨）
	甲库	乙库
A镇	240+10a	180
B镇	260	210

为了满足上述要求，同时使总运费最省，试问甲、乙粮库应运往A镇各多少吨大米？

Answer 1

分析 列出线性约束条件，目标函数，作出可行域，求出最值，可得结论．

解答 解：设甲、乙库往A镇运送x、y 吨大米，则甲、乙库往B镇运送100-x、80-y吨大米．
依题意有：$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥60}\\{（100-x）+（80-y）≥100}\\{100-x≥2y}\\{x，y≥0}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{60≤x+y≤80}\\{x+2y≤100}\\{x，y≥0}\end{array}\right.$，
根据上述约束条件作出可行域，如下图所示：
设总运费为z，则z=（240+10a）x+260（100-x）+180y+210（80-y）=（10a-20）x-30y+42800
目标直线为l：y=$\frac{a-2}{3}$x+$\frac{4280}{3}$-$\frac{z}{30}$，
且l越上移z的值越小，因为$\frac{1}{2}$＜a＜2，所以斜率$\frac{a-2}{3}$∈（-$\frac{1}{2}$，0），
如图，当l过点M（20，40）时，Z的值取得最小，
答：应该按甲库往A镇运送的大米量为20吨；乙库往A镇运送的大米量为40吨的方案派送大米，总运费最省．

点评 本题考查线性规划知识的运用，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．