Question

已知f(x)＝log_ax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈[，2]都有|f(x)|≤1成立，则a的取值范围是________．

Answer 1

 (0，]∪[3，＋∞)

解析　∵f(x)＝log_ax，

当0<a<1时，|f()|－|f(2)|

＝log_a＋log_a2

＝log_a>0，

当a>1时，|f()|－|f(2)|

＝－log_a－log_a2

＝－log_a>0，

∴|f()|>|f(2)|总成立．

要使x∈[，2]时恒有|f(x)|≤1，

只需|f()|≤1，即－1≤log_a≤1，

即log_aa^－1≤log_a≤log_aa，

亦当a>1时，得a^－1≤≤a，即a≥3；

当0<a<1时，得a^－1≥≥a，

得0<a≤.

综上所述，a的取值范围是(0，]∪[3，＋∞)．