题目内容
【题目】已知函数
,
为
的导函数.
(1)求证:在
上存在唯一零点;
(2)求证:有且仅有两个不同的零点.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1) 设
，然后判断函数
在
上的符号，得出
的单调性，再利用零点存在定理判断在上是否存在唯一零点即可；
(2) 分
，
，和
三种情况分别考虑
的零点存在情况，从而得证．
(1)设，
当
时，
，所以在
上单调递减，
又因为
，
所以在
上有唯一的零点
，所以命题得证．
(2) ①由(1)知：当
时，
，在
上单调递增;
当
时，
，在
上单调递减;
所以在上存在唯一的极大值点
所以
又因为
所以在上恰有一个零点．
又因为
所以在上也恰有一个零点．
②当时，
，
设
，
所以
在
上单调递减，所以
所以当时，
恒成立
所以在上没有零点．
③当时，
设
，
所以
在
上单调递减，所以
所以当时，
恒成立
所以在上没有零点．
综上，有且仅有两个零点．
【题目】某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题. 该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取
件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在
内，则为合格品，否则为不合格品.表 1是甲流水线样本的频数分布表，如图所示是乙流水线样本的频率分布直方图.
表1 甲流水线样本的频数分布表
质量指标值 | 频数 |
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（1）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了
万件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？
（2）在甲流水线抽取的样本的不合格品中随机抽取两件，求两件不合格品的质量指标值均偏大的概率；
（3）根据已知条件完成下面
列联表，并判断在犯错误概率不超过
的前提下能否认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？
甲生产线 | 乙生产线 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
附：
（其中
为样本容量）
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