Question

已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A₁、A₂，点M是椭圆上异于A₁、A₂的任意一点，设直线MA₁、MA₂的斜率分别为K_MA1、K_MA2，证明K_MA1•K_MA2为定值；
（Ⅲ）设椭圆方程，A₁、A₂为长轴两个端点，M为椭圆上异于A₁、A₂的点，K_MA1、K_MA2分别为直线MA₁、MA₂的斜率，利用上面（Ⅱ）的结论得K_MA1•K_MA2=________（只需直接填入结果即可，不必写出推理过程）．

Answer 1

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分析：（Ⅰ）根据离心率，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切，建立方程，求出几何量，从而可得椭圆方程；
（Ⅱ）由椭圆方程得A₁（-，0），A₂（，0），设M点坐标（x₀，y₀），表示出直线MA₁、MA₂的斜率分别为K_MA1、K_MA2，利用M再椭圆上，代入计算，可得K_MA1•K_MA2是定值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论可得K_MA1•K_MA2=-．
解答：（Ⅰ）解：∵离心率，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切
∴，b==
∴a=
∴椭圆方程为 …（4分）
（Ⅱ）证明：由椭圆方程得A₁（-，0），A₂（，0），
设M点坐标（x₀，y₀），则，∴
∵，
∴=-
∴K_MA1•K_MA2是定值 …（10分）
（Ⅲ）解：K_MA1•K_MA2=- …（12分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，证明K_MA1•K_MA2为定值．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化．