题目内容

已知椭圆C的焦点在x轴，焦距为2
3
，F1，F2是椭圆的焦点，P为椭圆上一点，且|PF1|+|PF2|=4．
（Ⅰ）求此椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求证：直线y=x+
5
与椭圆C有且仅有一个公共点．
分析：（Ⅰ）利用椭圆C的焦点在x轴，焦距为2
3
，|PF1|+|PF2|=4，求出几何量，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）直线y=x+
5
与椭圆联立，消去y整理得一元二次方程，利用判别式为0，可得结论．
解答：（Ⅰ）解：设椭圆方程为
x
2
 
a2
+
y
2
 
b2
=1（a＞b＞0）
∴焦距为2
3
，|PF1|+|PF2|=4
∴2c=2
3
，2a=4
∴c=
3
，a=2
∵b2=a2-c2=1
∴椭圆方程为
x
2
 
4
+y2=1；
（Ⅱ）证明：联立
y=x+
5
x2
4
+y2=1
，消去y整理得5x2+8
5
x+16=0
∵△=(8
5
)2-4×5×16=0
∴直线y=x+
5
与椭圆C有且仅有一个公共点．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C的焦点在x轴上，一个顶点的坐标是（0，1），离心率等于
2
5
5
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，求证：λ1+λ2为定值．
已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率e=
3
3
，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A1、A2，点M是椭圆上异于A1、A2的任意一点，设直线MA1、MA2的斜率分别为kMA1、kMA2，证明kMA1•kMA2为定值；
（Ⅲ）设椭圆方程
x2
a2
+
y2
b2
=1，A1、A2为长轴两个端点，M为椭圆上异于A1、A2的点，kMA1、kMA2分别为直线MA1、MA2的斜率，利用上面（Ⅱ）的结论得kMA1•kMA2=
 
（只需直接填入结果即可，不必写出推理过程）．
（2012•香洲区模拟）已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率e=
3
3
，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，点M是椭圆上异于Al，A2的任意一点，设直线MA1，MA2的斜率分别为kMA1，kMA2，证明kMA1，kMA2为定值．
已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率e=
3
3
，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A1、A2，点M是椭圆上异于A1、A2的任意一点，设直线MA1、MA2的斜率分别为KMA1、KMA2，证明KMA1•KMA2为定值；
（Ⅲ）设椭圆方程
x2
a2
+
y2
b2
=1，A1、A2为长轴两个端点，M为椭圆上异于A1、A2的点，KMA1、KMA2分别为直线MA1、MA2的斜率，利用上面（Ⅱ）的结论得KMA1•KMA2=
-
b
a
-
b
a
（只需直接填入结果即可，不必写出推理过程）．

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