Question

已知函数f（x）=

1+lnx

x

（1）若函数f（x）在区间（2a-1，a+

1

4

）内有极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证：[（n+1）!]²＞（n+1）e n-2+

2

n+1

（n∈N^*，e为自然对数的底数，e≈2.71828…）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数可得函数f（x）的极值，再利用函数f（x）取得极值时与给出区间的关系即可得出；
（2）当x≥1时，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，化为k≤

(x+1)(1+lnx)

x

，令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出其最小值；
（3）由（2）知，当x≥1时，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，即lnx≥1-

2

x+1

＞1-

2

x

．令x=k（k+1），k∈N^*，则ln[k（k+1）]＞1-

2

k(k+1)

=1-2(

1

k

-

1

k+1

)，即ln[k（k+1）]＞1-2(

1

k

-

1

k+1

)．分别令k=1，2，3，…n，利用“累加求和”即可证明．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=-

lnx

x2

，由f′（x）=0得：x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
故f（x）在x=1处取得极大值1．
由题意得：

a+ 1 4 ＞2a-1 2a-1＜1＜a+ 1 4

，解得

3

4

＜a＜1，
故实数a得取值范围为(

3

4

，1)．
（2）当x≥1时，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，化为k≤

(x+1)(1+lnx)

x

，
令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，
由题意知：k≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，g′(x)=

x-lnx

x2

，
再令h（x）=x-lnx（x≥1），则h′(x)=1-

1

x

≥0，当且仅当x=1时取等号，
因此h（x）在[1，+∞）上递增，
∴h（x）≥h（1）=1＞0，
故g′（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上递增，∴g（x）_min=g（1）=2，
因此k≤2，即k的取值范围为（-∞，2]．
（3）由（2）知，当x≥1时，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，即

1+lnx

x

≥

2

x+1

．
∴lnx≥1-

2

x+1

＞1-

2

x

．
令x=k（k+1），k∈N^*，则有ln[k（k+1）]＞1-

2

k(k+1)

=1-2(

1

k

-

1

k+1

)，
即ln[k（k+1）]＞1-2(

1

k

-

1

k+1

)．
分别令k=1，2，3，…n，
利用“累加求和”可得ln[1×2²×3²×…×n²×（n+1）]＞n-2+

2

n+1

，
故∴1×2²×3²×…×n²×（n+1）＞en-2+

2

n+1

，
从而[（n+1）!]²＞（n+1）e n-2+

2

n+1

（n∈N^*）成立．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、在给出含参数区间上取得极值的条件、“累加求和”、对数的运算性质，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．