Question

已知命题“p：?a∈[1，2]|m-5|≤

a2+8

”；命题“q：函数f（x）=x³+mx²+（m+6）x+1在R上有极值”．求使“p且￢q”为真命题的实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：

分析：对于命题“p：?a∈[1，2]，|m-5|≤

a2+8

”，则|m-5|≤(

a2+8

)min，求出即可．对于命题“q：函数f（x）=x³+mx²+（m+6）x+1在R上有极值”．
则f′（x）=0有两个不等的实根，因此△＞0，再利用要使“P且￢Q”为真，即可得出．

解答： 解：对于命题“p：?a∈[1，2]，|m-5|≤

a2+8

”，∴|m-5|≤3，解得2≤m≤8．
对于命题“q：函数f（x）=x³+mx²+（m+6）x+1在R上有极值”．
则f′（x）=3x²+2mx+m+6=0有两个不等的实根，
∴△=4m²-12（m+6）＞0，即m²-3m-18＞0，解得m＞6或m＜-3．
要使“P且￢Q”为真，只需

2≤m≤8 -3≤m≤6

，
解得2≤m≤6．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、二次函数有零点与判别式的关系、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．